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一、平方和公式1.介绍2.公式3.证明方法（1）证法一（归纳猜想法）（2）证法二（利用恒等式）（3）证法三（）
一、平方和公式
1.介绍
\quad
平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和（Sum of squares），其和又可称为四角锥数，或金字塔数（square pyramidal number）也就是正方形数的级数。
\quad
此公式是冯哈伯公式(Faulhaber’s formula)的一个特例。
2.公式
核心：
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
n
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
12+22+32+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)
其他：
∑
k
=
1
n
k
2
=
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
n
2
=
n
3
3
+
n
2
2
+
n
6
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
\displaystyle \sum^{n}_{k=1}{k^2}=1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
k=1∑nk2=12+22+32+⋯+n2=3n3+2n2+6n=6n(n+1)(2n+1)
∑
k
=
1
n
k
2
=
C
n
+
2
3
+
C
n
+
1
3
=
1
4
C
2
n
+
2
3
=
n
C
n
+
1
2
−
C
n
+
1
3
∣
\displaystyle \sum^{n}_{k=1}{k^2}=C^3_{n+2}+C^3_{n+1}=\frac{1}{4}C^3_{2n+2}=nC^{2}_{n+1}-C^{3|}_{n+1}
k=1∑nk2=Cn+23+Cn+13=41C2n+23=nCn+12−Cn+13∣
3.证明方法
（1）证法一（归纳猜想法）
1、 n=1时，
1
=
1
(
1
+
1
)
(
2
×
1
+
1
)
6
=
1
1= \dfrac{1(1+1)(2\times1+1)}{6}=1
1=61(1+1)(2×1+1)=1
2、 n=2时，
1
+
2
2
=
2
(
2
+
1
)
(
2
×
2
+
1
)
6
=
5
1+2^2= \dfrac{2(2+1)(2\times2+1)}{6}=5
1+22=62(2+1)(2×2+1)=5
3、设
n
=
k
(
k
∈
Z
,
k
≥
2
)
n=k(k\in \mathbb{Z},k \geq 2)
n=k(k∈Z,k≥2)时，公式成立，即
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
k
2
=
k
(
k
+
1
)
(
2
k
+
1
)
6
1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}
12+22+32+⋯+k2=6k(k+1)(2k+1)，则当n=k+1时，
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
k
2
+
(
k
+
1
)
2
1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2
12+22+32+⋯+k2+(k+1)2
=
k
(
k
+
1
)
(
2
k
+
1
)
6
+
(
k
+
1
)
2
=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2
=6k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
=
(
k
+
1
)
[
k
(
2
k
+
1
)
6
(
k
+
1
)
]
6
=\dfrac{(k+1)[k(2k+1)6(k+1)]}{6}
=6(k+1)[k(2k+1)6(k+1)]
=
(
k
+
1
)
(
2
k
2
+
7
k
+
6
)
6
=\dfrac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}
=6(k+1)(2k2+7k+6)
=
(
k
+
1
)
(
k
+
2
)
(
2
k
+
3
)
6
=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}
=6(k+1)(k+2)(2k+3)
=
(
k
+
1
)
[
(
k
+
1
)
+
1
]
[
2
(
k
+
1
)
+
1
]
6
=\dfrac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}
=6(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]
也满足公式
根据数学归纳法，对一切自然数n有
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
n
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
12+22+32+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)成立。
（2）证法二（利用恒等式）
恒等式：
(
n
+
1
)
3
=
n
3
+
3
n
2
+
3
n
+
1
(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
(n+1)3=n3+3n2+3n+1
所以
(
n
+
1
)
3
−
n
3
=
3
n
2
+
3
n
+
1
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
(n+1)3−n3=3n2+3n+1，
n
3
−
(
n
−
1
)
3
=
3
(
n
−
1
)
2
+
3
(
n
−
1
)
+
1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
n3−(n−1)3=3(n−1)2+3(n−1)+1
⋯
\cdots
⋯
3
3
−
2
3
=
3
×
2
2
+
3
×
2
+
1
3^3-2^3=3\times 2^2+3\times 2+1
33−23=3×22+3×2+1
2
3
−
1
3
=
3
×
1
2
+
3
×
1
+
1
2^3-1^3=3\times 1^2+3\times 1+ 1
23−13=3×12+3×1+1
求和得：
(
n
+
1
)
3
−
1
=
3
(
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
n
2
)
+
3
(
1
+
2
+
3
+
⋯
+
n
)
+
n
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+\cdots + n^2)+3(1+2+3+\cdots+n)+n
(n+1)3−1=3(12+22+32+⋯+n2)+3(1+2+3+⋯+n)+n
由于
1
+
2
+
3
+
⋯
+
n
=
n
(
n
+
1
)
2
1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}
1+2+3+⋯+n=2n(n+1)
代入上式得：
(
n
+
1
)
3
−
1
=
(
n
+
1
)
3
−
1
=
3
(
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
n
2
)
+
3
n
(
n
+
1
)
2
+
n
(n+1)^3-1=(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+\cdots + n^2)+3\dfrac{n(n+1)}{2}+n
(n+1)3−1=(n+1)3−1=3(12+22+32+⋯+n2)+32n(n+1)+n
整理后得：
1
2
+
2
2
+
3
2
+
⋯
+
n
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
1^2+2^2+3^2+\cdots + n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}
12+22+32+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)
（3）证法三（）
令
= 因为 所以，
证法四 （排列组合法）： 由于 ， 因此我们有 = 由于 ， ， 于是我们有 证法五 （拆分，直接推导法）： 1=1 2²=1+3 3²=1+3+5 4²=1+3+5+7 … (n-1)²=1+3+5+7+…+[2(n-1)-1] n²=1+3+5+7+…+[2n-1] 求和得：
……(*) 因为前n项平方和与前n-1项平方和差为n²
代入(*)式，得：
此式即
参考： https://baike.baidu.com/item/平方和公式/3264126?fr=aladdin